В 1018 г.Эмми Нётер, немецкий физик и математик, доказал фундаментальную теорему физики, которую в упрощённом виде можно сформулировать так: каждому свойству симметрии пространства и времени соответствует свой закон сохранения. В частности, как следует из теоремы (теоремы Нётер ) однородности времени должен соответствовать закон сохранения энергии: при любых процессах, происходящих в замкнутой консервативной системе, её полная механическая энергия не изменяется.

Элементарная работа потенциальных сил равна взятому с обратным знаком эле­ментарному изменению потенциальной энергии dA= -dE п. Так как иных сил в системе нет, то та же элементарная работа равна элементарному изменению кинетической энергии dA= dE к. По­этому можем записать

dE к + dE п = 0,

d(Е к + Е п) = 0. (2.34) Обозначим

Е к + Е п = Е (2.35)

здесь Е - полная механическая энергия . Из (2.39) видим, что полная механическая энергия остается постоянной:

При решении задач в механике удобно пользоваться законом сохранения энергии в виде

ΔE к = ΔE п или Е к1 + Е п1 = Е к2 + Е п2 . (2.37) здесь Е к1 и Е п1 , - соответственно кинетическая и потенциальная энергии тела (системы) в начальном положении; Е к2 и Е п2 - то же для конечного положения тела (системы).

Закон сохранения энергии в механике является частным случаем более общего закона сохранения и превращения энергии, который является одним из основных законов природы.

В земных условиях невозможно указать консервативную систему, хотя бы потому, что всегда действуют силы трения и сопротивления (диссипативные силы), происходит уменьшение механической энергии (диссипация энергии). В этом случае механическая энергия уже не будет оставаться постоянной; она будет изменяться, и её изменение, как это видно из формулы (2.38) будет складываться из изменения кинетической энергии ΔE к, и изменения потенциальной энергии ΔE п:

ΔЕ= ΔE к,+ ΔE п.. (2.38)

Учитывая соотношения (2.27) и (2.32), выражающие теорему о кинетической и потенциальной энергиях, последнее равенство можно переписать так:

ΔЕ= А пот +А дис -А пот = А дис. (2.39)

Изменение полной механической энергии неконсервативной системы равно сумме работы диссипативных сил .

Так как диссипативные силы направлены противоположно перемещению, то работа этих сил отрицательна и, следовательно, механическая энергия системы уменьшается.

§2.9 Столкновение тел

Столкновение тел – одно из наиболее часто встречающихся явлений в жизни. При столкновении происходит их кратковременное взаимодействие, сопровождающееся как деформацией, так и изменением направления их движения. Особый интерес представляют два вида столкновений – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Простейшим видом соударения является центральный удар тел. При этом ударе тела движутся только поступательно, их скорость направлена по прямой, соединяющей центры масс.

Абсолютно неупругий удар . Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно целое. Например, столкновение слипающихся пластилиновых шариков; попадание ружейной пули в ящик с песком и т.д.

Пусть один из шаров массойm 1 догоняет другой массой m 2 (рис. 2.12).

Можно записать

m 1 υ 1 +m 2 υ 2 =(m 1 +m 2)υ (2.40)

откуда
(2.41)

здесь υ 1 и υ 2 - скорости взаимодействующих шаров до удара; υ - их скорость после удара.

Направления векторов скоростей в общем случае определяются правилом : скорости положительны, если направлены вдоль оси ОХ, и отрицательны, если направлены противоположно.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если массы шаров равны (m 1 = m 2), то из (2.45) получим

(2.42)

2. Удар шара о стенку. Неподвижное тело (стенка) (υ 2 = 0) значительно массивнее шара (m 2 » m 1), тогда

(2.43)

т.е. налетевшее тело остановится после абсолютно неупругого удара, при этом υ 2 считаем не слишком большой.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия шаров не сохраняется, так как в системе действуют диссипативные силы и происходит потеря кинетической энергии, в результате чего механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию ΔЕ сталкивающихся тел (которые при этом нагреваются). Но закон сохранения полной энергии выполняется, т.е. сумма всех видов энергии замкнутой системы тел до и после столкновений остаётся неизменной:

(2.44)

Абсолютно упругий удар . Так называется столкновение тел, в результате которого не происходит соединения тел в одно целое и их внутренние энергии остаются неизменными. При абсолютно упругом ударе сохраняется не только импульс, но и механическая энергия системы.

К абсолютно упругому удару можно применить закон сохранения механической энергии:

(2.45)

где m 1 и m 2 - массы взаимодействующих шаров; υ 1 , υ 2 – их скорости до удара; u 1 , u 2 - после удара.

По тем же причинам, которые были изложены для абсолютно неупругого удара, к этому случаю можно применить и закон сохранения импульса:

m 1 υ 1 + m 2 υ 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 (2.46)

Решая совместно уравнения (2.49) и (2.50), получим

(2.47)

(2.48)

«Физика - 10 класс»

Как изменяются потенциальная, кинетическая и полная механическая энергии тела при его свободном падении вниз? если тело брошено вверх?

Обратимся к простой системе тел, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня.

Камень падает под действием силы тяжести. Силу сопротивления воздуха учитывать не будем. Изменение кинетической энергии камня равно работе сил тяжести:

ΔЕ к = A т (5.23)

Изменение потенциальной энергии равно работе силы тяжести, взятой с обратным знаком:

ΔЕ п = -А т (5.24)

Работа силы тяжести, действующей со стороны камня на земной шар, практически равна нулю. Из-за большой массы земного шара его перемещением и изменением скорости можно пренебречь. Из формул (5.23) и (5.24) следует, что

ΔЕ к = -ΔЕ п. (5.25)

Равенство (5.25) означает, что увеличение кинетической энергии системы равно убыли её потенциальной энергии (или наоборот). Отсюда следует, что

ΔЕ к + ΔЕ п = 0,

Δ (Е к + Е п) = 0. (5.26)

Изменение суммы кинетической и потенциальной энергий системы равно нулю.

Полная механическая энергия Е равна сумме кинетической и потенциальной энергий тел, входящих в систему:

Е = Е к + Е п. (5.27)

Так как изменение полной энергии системы в рассматриваемом случае согласно уравнению (5.26) равно нулю, то энергия остаётся постоянной:

Е = Е к + Е п = const. (5.28)

Закон сохранения механической энергии:

В изолированной системе в которой действуют консервативные силы, механическая энергия сохраняется .

Закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения энергии .

Общий закон сохранения энергии:

Энергия не создаётся и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую.

Учитывая, что в рассматриваемом конкретном случае Е п = mgh и закон сохранения механической энергии можно записать так:

Это уравнение позволяет очень просто найти скорость υ 2 камня на любой высоте h 2 над землёй, если известна начальная скорость камня на исходной высоте h 1 .

Чем мы пренебрегаем, когда говорим, что механическая энергия падающего камня сохраняется? Какие превращения энергии реально происходят при падении камня в воздухе?

Закон сохранения механической энергии (5.28) легко обобщается на случай любого числа тел и любых консервативных сил взаимодействия между ними. Под Е к нужно понимать сумму кинетических энергий всех тел, а под Е п - полную потенциальную энергию системы. Для системы, состоящей из тела массой m и горизонтально расположенной пружины (см. рис. 5.13), закон сохранения механической энергии имеет вид

Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения.

Рассмотрим влияние сил трения на изменение механической энергии системы.

Если в изолированной системе силы трения совершают работу при движении тел относительно друг друга, то её механическая энергия не сохраняется. В этом легко убедиться, толкнув книгу, лежащую на столе. Из-за действия силы трения книга почти сразу останавливается. Сообщённая ей механическая энергия исчезает.

Сила трения совершает отрицательную работу и уменьшает кинетическую энергию. Но потенциальная энергия при этом не увеличивается.

Поэтому полная механическая энергия убывает. Кинетическая энергия не превращается в потенциальную.

Нагревание при действии сил трения легко обнаружить. Для этого, например, достаточно энергично потереть монету о стол. С повышением температуры, как известно из курса физики основной школы, повышается кинетическая энергия теплового движения молекул или атомов. Следовательно, при действии сил трения кинетическая энергия тела превращается в кинетическую энергию хаотично движущихся молекул.

Силы трения (сопротивления) неконсервативны.

Отличие сил трения от консервативных сил становится особенно наглядным, если рассмотреть работу тех и других на замкнутом пути. Работа силы тяжести, например, на замкнутом пути всегда равна нулю. Она положительна при падении тела с высоты h и отрицательна при подъёме на ту же высоту. Работа же силы сопротивления воздуха отрицательна как при подъёме тела вверх, так и при движении его вниз. Поэтому на замкнутом пути она обязательно меньше нуля.

В любой системе, состоящей из больших макроскопических тел, действуют силы трения. Следовательно, даже в изолированной системе движущихся тел механическая энергия обязательно убывает. Постепенно затухают колебания маятника, останавливается машина с выключенным двигателем и т. д.

Но убывание механической энергии не означает, что эта энергия исчезает бесследно. В действительности происходит переход энергии из механической формы в другие. Обычно при работе сил трения происходит нагревание тел, или, как говорят, увеличение их внутренней энергии.

Во всех процессах, происходящих в природе, как и в создаваемых приборах, устройствах, всегда выполняется закон сохранения и превращения энергии: энергия не исчезает и не появляется вновь, она может только перейти из одного вида в другой.

В двигателях внутреннего сгорания, паровых турбинах, электродвигателях и т. д. механическая энергия появляется за счёт убыли энергии других форм: химической, электрической и т. д.

Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Закон сохранения механической энергии». Вначале дадим определение полной энергии и замкнутой системы. Затем сформулируем Закон сохранения механической энергии и рассмотрим, в каких областях физики можно его применять. Также мы дадим определение работы и научимся её определять, рассмотрев связанные с ней формулы.

Тема: Механические колебания и волны. Звук

Урок 32. Закон сохранения механической энергии

Ерюткин Евгений Сергеевич

Темой урока является один из фундаментальных законов природы – .

Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела. Давайте вспомним, что называют замкнутой системой. Это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел, но никакие другие тела извне на эту систему не действуют.

Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости остается неизменной при любом движении этих тел.

Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно Земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия. При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к Земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую. То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.

Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии: .

Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической энергией и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой. Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором. Что в этом случае происходит? В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится. Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения. Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Давайте посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.

Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса: А = F.* S.

Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения.

В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.

Дополнительная задача 1 «О падении тела с некоторой высоты»

Задача 1

Тело находится на высоте 5 м от поверхности земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Дано: Решение :

Н = 5 м 1. ЕП = m* g*.H

V0 = 0 ; m * g * H =

_______ V2 = 2gH

VK - ? Ответ:

Рассмотрим закон сохранения энергии.

Рис. 1. Движение тела (задача 1)

В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: ЕП = m *g * H. Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую.

Согласно закону сохранения энергии можем записать: m * g * H = . Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: V2 = 2gH .

Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим: .

Дополнительная задача 2

Тело свободно падает с высоты Н. Определите, на какой высоте кинетическая энергия равна трети потенциальной.

Дано: Решение :

Н ЕП = m . g . H; ;

M.g.h = m.g.h + m.g.h

h - ? Ответ: h = H.

Рис. 2. К задаче 2

Когда тело находится на высоте Н, оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: ЕП = m * g * H. Это и будет полная энергия тела.

Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид: . Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: .

По закону сохранения энергии у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия ЕП = m * g * H остается величиной постоянной. Для точки h мы можем записать следующее соотношение: (по З.С.Э.).

Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: m.g.Н = m.g.h + m.g.h.

Обратите внимание, масса сокращается, ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет h = H.

Ответ: h= 0,75H

Дополнительная задача 3

Два тела – брусок массой m1 и пластилиновый шарик массой m2 – движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какое количество энергии превратилось во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика.

Дано: Решение :

m1 = 3. m2 m1.V1- m2.V2= (m1+m2).U; 3.m2V- m2.V= 4 m2.U2.V=4.U; .

Это означает, что скорость бруска и пластилинового шарика вместе будет в 2 раза меньше, чем скорость до соударения.

Следующий шаг – это .

.

В данном случае полная энергия – это сумма кинетических энергий двух тел. Тел, которые еще не соприкоснулись, не ударились. Что произошло потом, после соударения? Посмотрите на следующую запись: .

В левой части мы оставляем полную энергию, а в правой части мы должны записать кинетическую энергию тел после взаимодействия и учесть, что часть механической энергии превратилась в тепло Q .

Таким образом, имеем: . В итоге получаем ответ .

Обратите внимание: в результате такого взаимодействия большая часть энергии превращается в тепло, т.е. переходит во внутреннюю энергию.

Список дополнительной литературы:

А так ли хорошо знакомы вам законы сохранения? // Квант. - 1987. - № 5. - С. 32-33.
Городецкий Е.Е. Закон сохранения энергии // Квант. - 1988. - № 5. - С. 45-47.
Соловейчик И.А. Физика. Механика. Пособие для абитуриентов и старшеклассников. – СПб.: Агенство ИГРЕК, 1995. – С. 119-145.
Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. – М.: Дрофа, 2002. – C. 309-347.

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам - очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите

Один из наиболее важных законов, согласно которому физическая величина - энергия сохраняется в изолированной системе. Этому закону подчиняются все без исключения известные процессы в природе. В изолированной системе энергия может только превращаться из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

Для того, чтоб понять что же представляет из себя закон и откуда это получается возьмем тело массой m, которое уроним на Землю. В точке 1 тело у нас находится на высоте h и покоится (скорость равна 0). В точке 2 тело тело имеет некоторую скорость v и находится на расстоянии h-h1. В точке 3 тело имеет максимальную скорость и оно почти лежит на нашей Земле, то есть h=0

В точке 1 тело имеет только потенциальную энергию, так как скорость тела равно 0,так что полная механическая энергия равна.

После того как мы тело отпустили, оно стало падать. При падении потенциальная энергия тела уменьшается, так как уменьшается высота тела над Землей, а его кинетическая энергия увеличивается, так как увеличивается скорость тела. На участке 1-2 равном h1 потенциальная энергия будет равна

А кинетическая энергия будет равная в тот момент ( - скорость тела в точке 2):

Чем ближе тело становится к Земле, тем меньше его потенциальная энергия, но в тот же момент увеличивается скорость тела, а из-за этого и кинетическая энергия. То есть в точке 2 работает закон сохранения энергии: потенциальная энергия уменьшается, кинетическая растет.

В точке 3 (на поверхности Земли) потенциальная энергия равна нулю (так как h = 0), а кинетическая максимальна (где v3 - скорость тела в момент падения на Землю). Так как , то кинетическая энергия в точке 3 будет равна Wk=mgh. Следовательно, в точке 3 полная энергия тела W3=mgh и равна потенциальной энергии на высоте h. Конечная формула закона сохранения механической энергии будет иметь вид:

Формула выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы: полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии тел в их кинетическую энергию и обратно.

В Формуле мы использовали.